分數乘法的理解方式

大家好，筆者最近在某份雜誌(註[1])讀到一篇文章，上面的文字怎麼說筆者想不太起來，但筆者卻對作者使用一個圖來解釋分數的乘法，感到印象深刻，因為它剛好解決的筆者心中的疑惑，因此也想請讀者一起分享。

首先，筆者想請問大家，分數的概念要怎麼解釋呢？相信大家常用的方式有兩種，一種是圓餅圖，另外一種是長條圖。請先看下圖，左邊的圖就代表了1/4這個分數，而右邊的圖則代表了2/5這個分數：
 
原因是，我們理解真分數a/b的方式，是將a/b理解為「以1代表整體，將1予以b等分後，取其中a等分，a小於b」。

但是，筆者發現以上兩種圖用來解釋一般真分數a/b的意義，大抵上是沒問題的，但卻比較不利於解釋下面的分數乘法公式：
 

然而，在上面提到的那篇文章中，作者使用下面的圖來說明(3/4)*(2/5)=6/20：
 
利用上面的圖，作者試圖解釋(3/4)*(2/5)=6/20的道理。要怎麼解釋呢？在此，筆者也畫出了另外三張圖，試著來解釋該作者的想法。第一張圖為：
 
上圖代表將所有面積1分成4等份，且取其中3等份，因此表示了3/4這個分數。

再來，已知有兩個數a與b，而「a的b倍」要怎麼表示呢？我們記為「a×b」，讀作「a乘以b」；因此(3/4)×(2/5)的意義就是3/4的2/5倍，所以我們要先把藍色面積分成5等份， 再取其中2份，我們把取的那兩份並塗成橘色，代表我們所要的面積：
 
但是上圖中的橘色面積，究竟占所有面積1的多少部份呢？我們看不出來，這是因為右邊有一塊大長方形沒有被橫向切開，導致所有面積沒有被等分，所以我們講不出來究竟是「1的幾等分裡取幾等分」。因此我們再考慮下圖：
 
而這就是該作者所用的圖，在上圖中，所有面積1被分成了20等份，橘色部份有6等份，所以就是橘色部份就代表了6/20這個分數。

可是不要忘了，6/20的分母20，是因為面積1先縱向4等份再橫向5等份，4乘上5等於20，所以總共分了20等分；而因為第一次切割後共取了3等分，第二次切割時取了2等分，所以最後共有3×2=6等分。相信至此不難理解，為何分數相乘時，分母要相乘，分子也要相乘的道理