數學對很多人來說是一道障礙，更是一輩子跨越不過的高牆，但美國密西根州的塞爾比夫婦(Jerry Selbee and Marge)而言，數學不只好用，還幫助他們10年來破解無數次彩券，賺了2600萬美元(約新台幣7.8億元)。
據美國《CBS》新聞網報導，現年80歲的塞爾比和妻子瑪吉，多年前早已開始享受退休生活。塞爾比本身是數學系畢業，他在2003年發現了一款彩券「Winfall」有計算漏洞。「Winfall」的規則很簡單，每張彩券的價格為1美元(約新台幣30元)，如果彩券上6個號碼全中，就能贏得500萬美元(約新台幣1.5億元)大奬。如果當期沒人中大獎，則會把獎金分攤給中獎3~5個號碼的玩家。
而塞爾比所發現的漏洞，就是玩「Winfall」時，買的彩券越多，擊敗賠率的機率就越高。塞爾比起初小試牛刀，在Winfall累積獎金達到500萬美元時，購買3600美元(約新台幣10.8萬元)彩票，第一次贏得6300美元(約新台幣18.9萬元)，其後他再下注8000美元(約新台幣24萬元)，回報同樣翻了一倍。
塞爾比發現自己的邏輯推理是正確的，於是照著這個模式繼續買彩券，甚至成立投資公司，幫助更多親友賺錢。不過後來「Winfall」因為購買人數太少而停售，但塞爾比得知在麻州有一款彩券「Cash WinFall」的運算模式，和Winfall是一樣的，於是塞爾比連續6年，都開了14小時的車到麻州，購買數十萬張彩券，每天用10小時人工兌獎，沒中奬的彩券累積達1800萬張，他們也留下做為紀念，放滿了65個膠盒。
這10年來塞爾比靠著簡單的數學運算破解彩券，更因此賺了2600萬美元。麻州政府一度對塞爾比夫婦進行調查，也停售「Cash WinFall」彩券，但調查的結果，麻州政府也找不出漏洞，認定塞爾比夫婦是合法獲利。塞爾比和瑪吉最近將自己的故事版權，賣給電影製作公司，未來將有望翻拍成電影。（施旖婕／綜合外電報導）
2020年1月2日 星期四
學數學有用嗎？
學數學有用嗎？
更新： 2019年01月28日
數學是對模式的研究，是對事物的數量、形狀、關係進行表達、做出描述等等的一種手段。（Fotolia）
數學是對模式的研究，是對事物的數量、形狀、關係進行表達、做出描述等等的一種手段。（Fotolia）
編譯／伊璉
孩子們常常會對學數學的意義感到困惑，經常問：「學數學有什麼用？」，「我什麼時候會用到數學？」，或者是「數學在今後的生活中如何幫助我？」等等。對於提問的孩子們來說，似乎數學與生活沒大關係，只是課堂上的一些知識而已。
報告顯示，年輕人對數學的負面情緒正在上升，即便是在小學階段也是一樣。昆士蘭格林菲斯大學（Griffith University）的數學教育講師拉爾金（Kevin Larkin）認為，這是因為數學在很大程度上，只是當做一種菜單來教授。舉例來說，如果我們照著先A然後B再C這樣一路做下去後，得出了一個問題的答案，但我們並沒有首先提出這個問題，對解決問題的「原料」也不求甚解。
如何向學生或孩子解釋學習數學的意義，激發他們的興趣和潛能，拉爾金分享了自己的經驗。
我什麼時候會用到數學？
學校裡所教授的數學在很大程度上是基於對計算技能的傳授，比如：計算角度，或套用公式來計算體積或容積，而非從本質上研究數學究竟是什麼。
數學是對模式的研究，是對事物的數量、形狀、關係進行表達、做出描述等等的一種手段。在現實當中對許多學生來說，他們對數學的理解意味著只是完成老師布置的作業，而非是拓展他們自己對角度、體積、容積的真正理解。
我用彈鋼琴打比喻來說明對數學的認識，即演奏者雖然知道鋼琴的一些相關知識（如：琴鍵、音符、弦樂等），但這並不能讓他成為莫扎特，同樣，了解資料、公式、定義雖然非常重要，但卻不能使某人成為數學家。
當孩子們並非簡單的為完成作業而研習數學時，就會發現數學具有趣味性、相關性和吸引力，數學還會對生產力和就業機會帶來長遠的經濟影響。
說到數學的學習方法，老師還可以通過在教學之外，為學生找到學習數學的機會，而非只是照本宣科似的講授數學，父母則可以鼓勵孩子在每天的環境中思考和運用數學。
舉例：在旅行時，兒童可以在車牌號中找到模式（連續的345或單獨的257，以及（12的）平方數字144）。他們可能會預測哪條路線在移動設備上，顯示的是最短途徑，或者在看他們最愛的電視節目時，計算廣告插播的次數。
數學在今後的生活中如何幫我？
由於學校只關注學習計算技能，而非是解決現實問題，因此，不鼓勵年輕人在這方面進一步發展。過分強調數學技能會損害年輕人用數學家思維（推理、解決問題、建模、使用技術）解決問題的能力，並進一步使高中或大學學習數學科目人數的下降。
常見的誤解是只有少數幾個職業會用到數學，而實際情況是大多數職業都會用到數學，像：護士、飛行員、時裝設計、建築師等等等等。告訴孩子們每天生活中我們都會用到數學，只是也許沒有注意到它。例如：導航、確定可能性、測量、估算，或者是聽那些政治家、銷售人員、廣告商提供的統計數據。
如果下一次再被問及學習數學的意義，可以闡述如下解釋：學習數學可以幫助孩子理解事情發生的原因（為什麼聖誕節會花費更多）；預測將來會發生什麼（用概率計算出我最愛的玩具角色，出現在一盒麥片中的可能性）；或者是解決難題（幫助遊戲中的主角擺脫難關）。◇
更新： 2019年01月28日
數學是對模式的研究，是對事物的數量、形狀、關係進行表達、做出描述等等的一種手段。（Fotolia）
數學是對模式的研究，是對事物的數量、形狀、關係進行表達、做出描述等等的一種手段。（Fotolia）
編譯／伊璉
孩子們常常會對學數學的意義感到困惑，經常問：「學數學有什麼用？」，「我什麼時候會用到數學？」，或者是「數學在今後的生活中如何幫助我？」等等。對於提問的孩子們來說，似乎數學與生活沒大關係，只是課堂上的一些知識而已。
報告顯示，年輕人對數學的負面情緒正在上升，即便是在小學階段也是一樣。昆士蘭格林菲斯大學（Griffith University）的數學教育講師拉爾金（Kevin Larkin）認為，這是因為數學在很大程度上，只是當做一種菜單來教授。舉例來說，如果我們照著先A然後B再C這樣一路做下去後，得出了一個問題的答案，但我們並沒有首先提出這個問題，對解決問題的「原料」也不求甚解。
如何向學生或孩子解釋學習數學的意義，激發他們的興趣和潛能，拉爾金分享了自己的經驗。
我什麼時候會用到數學？
學校裡所教授的數學在很大程度上是基於對計算技能的傳授，比如：計算角度，或套用公式來計算體積或容積，而非從本質上研究數學究竟是什麼。
數學是對模式的研究，是對事物的數量、形狀、關係進行表達、做出描述等等的一種手段。在現實當中對許多學生來說，他們對數學的理解意味著只是完成老師布置的作業，而非是拓展他們自己對角度、體積、容積的真正理解。
我用彈鋼琴打比喻來說明對數學的認識，即演奏者雖然知道鋼琴的一些相關知識（如：琴鍵、音符、弦樂等），但這並不能讓他成為莫扎特，同樣，了解資料、公式、定義雖然非常重要，但卻不能使某人成為數學家。
當孩子們並非簡單的為完成作業而研習數學時，就會發現數學具有趣味性、相關性和吸引力，數學還會對生產力和就業機會帶來長遠的經濟影響。
說到數學的學習方法，老師還可以通過在教學之外，為學生找到學習數學的機會，而非只是照本宣科似的講授數學，父母則可以鼓勵孩子在每天的環境中思考和運用數學。
舉例：在旅行時，兒童可以在車牌號中找到模式（連續的345或單獨的257，以及（12的）平方數字144）。他們可能會預測哪條路線在移動設備上，顯示的是最短途徑，或者在看他們最愛的電視節目時，計算廣告插播的次數。
數學在今後的生活中如何幫我？
由於學校只關注學習計算技能，而非是解決現實問題，因此，不鼓勵年輕人在這方面進一步發展。過分強調數學技能會損害年輕人用數學家思維（推理、解決問題、建模、使用技術）解決問題的能力，並進一步使高中或大學學習數學科目人數的下降。
常見的誤解是只有少數幾個職業會用到數學，而實際情況是大多數職業都會用到數學，像：護士、飛行員、時裝設計、建築師等等等等。告訴孩子們每天生活中我們都會用到數學，只是也許沒有注意到它。例如：導航、確定可能性、測量、估算，或者是聽那些政治家、銷售人員、廣告商提供的統計數據。
如果下一次再被問及學習數學的意義，可以闡述如下解釋：學習數學可以幫助孩子理解事情發生的原因（為什麼聖誕節會花費更多）；預測將來會發生什麼（用概率計算出我最愛的玩具角色，出現在一盒麥片中的可能性）；或者是解決難題（幫助遊戲中的主角擺脫難關）。◇
2020年1月1日 星期三
淺談國中數學科的教學心態
五常國中 謝新傳老師
剛踏入國中的新生約有90%對數學的學習態度是既期待又新鮮的，可是到了國二，這個期待及新鮮感大約只剩30%，一直到了國三仍然有熱情及興趣接受數學教育薰陶的，我看連10%都不到（這還包括一大半學習焦慮的學生，甚至於有一些學業成績很好的學生也很厭倦數學），相對的，國中校園內也有一群敬業卯盡全力但疲憊不堪的教師，而會讓青少年在這麼年輕就放棄數學讓老師精疲力盡的原因，我看是台灣的考試文化（反復的考試與殘酷的排名，歷史上有那一個世界級的數學家是從小考出來的？小市民需要熟稔的計算一元二次方程式根的公式嗎？出再大的太陽，學生上體育課打籃球為什麼會那麼高興？）長期扭曲健康的教學與學習心態。青少年進入學校學習數學，課程及學習方式完全是接受學校及教師安排的，所以這方面教師需要再去研究，責無旁貸。
學生常會問起為什麼要學數學，說來話長，但我認為最起碼的是要讓青少年知道，基本上數學是好玩有趣的（迎合合青少年的心理發展，一定要比Game好玩，否則的話他們都會去打電動不念書，視數學為畏途），至於說數學是本來就有趣還是老師教出來或學生學出來的？我的答案是數學是本來就有趣，再經過老師的培養，學生會更有趣。至於怎樣讓青少年覺得有趣，我認為：
第一、 要將數學史融入教學活動：『公元前200多年前，有一位叫埃拉拖斯德尼（Eratosthenes）的古希臘數學家，他利用現今連國中生都可以理解的簡單幾何方法計算出地球的周長39250公理，.........後來引發了同一個時代數學家阿基米德仔細計算圓周率.....』，像這樣一波接一波引人入勝福爾摩斯般的數學故事，是培養興趣的最佳辦法，教師可以帶學生到校園找到一個圓形的花園，用類似或著更有創意的方法去計算周長，像這樣重遊歷史讓學生實際去體會去實踐，學生得到了啟示就會更加有興趣去學。教師如果課堂上沒有足夠的時間來進行，最好是介紹一些通俗有趣的書籍讓學生閱讀，比如關於圓周率π的精確求值，在古代中國也有一段有趣且精彩的歷史，老師可以要求同學把它整理出來（甚至於把它作成月曆放在佈告欄內當作作品來欣賞），相信這樣作，對青少年很有啟示的作用。其次，要將數學歷史融入教學活動的另一個原因是要青少年關心本國及全世界的文化發展，數學是生活的一部分也是人類文化活動的一部分，史書不是記載4000多年前大禹治水時左準繩右規矩嗎？連中國古代軍事寶典《孫子兵法》裡也蘊藏著豐富的數學思想，數學難道沒有影響中國歷史嗎？
第二、 讓學生自作研讀或研究報告以取代紙筆測驗的評量方式： 為什麼呢？作研讀報告和考試，兩者對青少年會有兩種截然不同的影響，研讀報告或小組研究報告簡直就可以看成是自己的〔藝術作品〕，青少年會有無限寬廣的想像空間，學會尊重別人也肯定自己，從而建立起自己的數學觀甚至於人生觀，而紙筆測驗僅僅只能當作學業競賽的工具，不能勾畫內心的藍圖更並不能評鑑一個人的創造力及想像力。前者使學習者在創造發明的心態上自我成長，並能主動學習，而太多的考試只是讓學生反復練習，增加同儕間的緊張，「好學生」則永遠只會考別人設計的題目，永遠是別人設計出來的。我建議國中數學選修課，老師應介紹數學史或指導學生作研讀報告，並取消日常成績中的紙筆測驗（∵三次段考已經過多了，多一次考試，青少年則是多一分挫折感，老師也多一分焦慮），改成「研究精神」、「數學藝術」、「數學遊戲」、「數學故事」之類的。
第三、生活數學化，數學生活化：數學就存在大自然，就是生活本身，並不是國中數學參考書中那一堆歷屆聯考試題，數學是偵查大自然謎底的福爾摩斯，400年前有一個德國天文學家刻卜勒，他對於六角形的雪花，根據數學原理推論出雪片冰晶的原子幾何結構。在日常生活中，老師要指導學生用所學過的數學方法去理解周遭的事物，數學才能注入活力，數學才有生命，否則數學永遠只是考試的科目。例如要求學生用幾何的方法去計算廁所卷紙單張厚度及重量，其他品牌的廁所卷紙厚度是否一樣，報紙的厚度又該如何計算，讓學生去深思很平凡生活中的數學體驗。800年前，費布那西（Fibonacci）在養兔子的時候觀察兔群的生長，發現了1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89....這種數列，這個數列和大部份植物的花瓣數目一樣，這樣的生活化的數學教材應該讓學生去感受去欣賞。
第四、寓數學於懸疑、故事、遊戲、玩樂、猜測之中：教學要對準青少年的心理發展而來，而課堂上是否能引起強烈的學習動機及持續的好奇，正是教學成敗的關鍵，更重要的是引起動機之後，還能引導青少年更進一步主動學習。雖然證明和演算是數學最難的部份，但是最初的假設、好奇、猜想，往往就是科學最具創造力的部份，我認為課堂上教師不必急於告訴學生結果，要保留更多的時間讓學生去感覺去想像，例如我們跟學生講 這個數，他們可能感覺不出來這個數有多大，我們可以舉例說明，有一張紙它的厚度只有0.01公分，這張紙如果把它對摺30次，那麼它的厚度就有 公分，老師可以停下讓學生猜測這個長度有多長，是大概一本書這麼厚？還是一個人這麼高？還是一間教室這麼寬？還是學校操場這麼長？台北市仁愛路的長？有沒有可能是台北到新竹的距離？大部份的學生在知道答案後通常都會很驚訝，一張薄薄的紙（一百張才一公分）怎麼可能教室?自己對摺30次就會有107.3741824公理呢？學生因好奇一定會親自動手去摺（通常無法對摺八次，而引發另一個數學問題的學習動機），不行，再用計算機計算，如此一來就達到老師的教學目標。
另外再舉一例：據歷史學家研考，古埃及人並非使用我們現在的直式乘法來計算乘積的，他們用的是特殊的”減半—加倍”法，例如：
要求 9 25 之積，把9的減半數依次往下寫到1為止，又把25的加倍數依次往下寫和左邊的數對應，如下圖：
9 × 25
4 50
2 100
1 200
1和9是奇數，把右邊對應的數相加即為所求，9×25=25+200=225
國中生用這種方法去作各種乘法會覺得生動有趣，老師可借此機會對古埃及人和巴比倫人另類的計算作壢史的介紹，並要求學生作書面報告，這是一個引起學生主動學習的最佳方法。
圓周率π是每一個國中生都熟悉的，教師可以利用課堂上時間，向學生介紹古代中國及古西臘數學家計算圓周率π精確值的偉大歷史故事，（也順便提一下阿基米得的哲學觀），告訴他中國歷史上的劉徽在公元三世紀的時候，他用【割圓術】計算出圓周率是3.1416，（如果學生好奇問道割圓術是甚麼？那老師就該稱讚他，並且大概講解一下），而到了公元五世紀的時候，另一位高手叫祖沖之（老師可要求學生看書自我想像寫研讀心得—祖沖之的故事）的又創世界紀錄並保持1000年，精算到七位小數，3.1415926<圓周率<3.1415927，到最後告訴他近世的萊布尼茲公式，讓他們深感數學之力與美：
學生常會問起為什麼要學數學，說來話長，但我認為最起碼的是要讓青少年知道，基本上數學是好玩有趣的（迎合合青少年的心理發展，一定要比Game好玩，否則的話他們都會去打電動不念書，視數學為畏途），至於說數學是本來就有趣還是老師教出來或學生學出來的？我的答案是數學是本來就有趣，再經過老師的培養，學生會更有趣。至於怎樣讓青少年覺得有趣，我認為：
第一、 要將數學史融入教學活動：『公元前200多年前，有一位叫埃拉拖斯德尼（Eratosthenes）的古希臘數學家，他利用現今連國中生都可以理解的簡單幾何方法計算出地球的周長39250公理，.........後來引發了同一個時代數學家阿基米德仔細計算圓周率.....』，像這樣一波接一波引人入勝福爾摩斯般的數學故事，是培養興趣的最佳辦法，教師可以帶學生到校園找到一個圓形的花園，用類似或著更有創意的方法去計算周長，像這樣重遊歷史讓學生實際去體會去實踐，學生得到了啟示就會更加有興趣去學。教師如果課堂上沒有足夠的時間來進行，最好是介紹一些通俗有趣的書籍讓學生閱讀，比如關於圓周率π的精確求值，在古代中國也有一段有趣且精彩的歷史，老師可以要求同學把它整理出來（甚至於把它作成月曆放在佈告欄內當作作品來欣賞），相信這樣作，對青少年很有啟示的作用。其次，要將數學歷史融入教學活動的另一個原因是要青少年關心本國及全世界的文化發展，數學是生活的一部分也是人類文化活動的一部分，史書不是記載4000多年前大禹治水時左準繩右規矩嗎？連中國古代軍事寶典《孫子兵法》裡也蘊藏著豐富的數學思想，數學難道沒有影響中國歷史嗎？
第二、 讓學生自作研讀或研究報告以取代紙筆測驗的評量方式： 為什麼呢？作研讀報告和考試，兩者對青少年會有兩種截然不同的影響，研讀報告或小組研究報告簡直就可以看成是自己的〔藝術作品〕，青少年會有無限寬廣的想像空間，學會尊重別人也肯定自己，從而建立起自己的數學觀甚至於人生觀，而紙筆測驗僅僅只能當作學業競賽的工具，不能勾畫內心的藍圖更並不能評鑑一個人的創造力及想像力。前者使學習者在創造發明的心態上自我成長，並能主動學習，而太多的考試只是讓學生反復練習，增加同儕間的緊張，「好學生」則永遠只會考別人設計的題目，永遠是別人設計出來的。我建議國中數學選修課，老師應介紹數學史或指導學生作研讀報告，並取消日常成績中的紙筆測驗（∵三次段考已經過多了，多一次考試，青少年則是多一分挫折感，老師也多一分焦慮），改成「研究精神」、「數學藝術」、「數學遊戲」、「數學故事」之類的。
第三、生活數學化，數學生活化：數學就存在大自然，就是生活本身，並不是國中數學參考書中那一堆歷屆聯考試題，數學是偵查大自然謎底的福爾摩斯，400年前有一個德國天文學家刻卜勒，他對於六角形的雪花，根據數學原理推論出雪片冰晶的原子幾何結構。在日常生活中，老師要指導學生用所學過的數學方法去理解周遭的事物，數學才能注入活力，數學才有生命，否則數學永遠只是考試的科目。例如要求學生用幾何的方法去計算廁所卷紙單張厚度及重量，其他品牌的廁所卷紙厚度是否一樣，報紙的厚度又該如何計算，讓學生去深思很平凡生活中的數學體驗。800年前，費布那西（Fibonacci）在養兔子的時候觀察兔群的生長，發現了1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89....這種數列，這個數列和大部份植物的花瓣數目一樣，這樣的生活化的數學教材應該讓學生去感受去欣賞。
第四、寓數學於懸疑、故事、遊戲、玩樂、猜測之中：教學要對準青少年的心理發展而來，而課堂上是否能引起強烈的學習動機及持續的好奇，正是教學成敗的關鍵，更重要的是引起動機之後，還能引導青少年更進一步主動學習。雖然證明和演算是數學最難的部份，但是最初的假設、好奇、猜想，往往就是科學最具創造力的部份，我認為課堂上教師不必急於告訴學生結果，要保留更多的時間讓學生去感覺去想像，例如我們跟學生講 這個數，他們可能感覺不出來這個數有多大，我們可以舉例說明，有一張紙它的厚度只有0.01公分，這張紙如果把它對摺30次，那麼它的厚度就有 公分，老師可以停下讓學生猜測這個長度有多長，是大概一本書這麼厚？還是一個人這麼高？還是一間教室這麼寬？還是學校操場這麼長？台北市仁愛路的長？有沒有可能是台北到新竹的距離？大部份的學生在知道答案後通常都會很驚訝，一張薄薄的紙（一百張才一公分）怎麼可能教室?自己對摺30次就會有107.3741824公理呢？學生因好奇一定會親自動手去摺（通常無法對摺八次，而引發另一個數學問題的學習動機），不行，再用計算機計算，如此一來就達到老師的教學目標。
另外再舉一例：據歷史學家研考，古埃及人並非使用我們現在的直式乘法來計算乘積的，他們用的是特殊的”減半—加倍”法，例如：
要求 9 25 之積，把9的減半數依次往下寫到1為止，又把25的加倍數依次往下寫和左邊的數對應，如下圖：
9 × 25
4 50
2 100
1 200
1和9是奇數，把右邊對應的數相加即為所求，9×25=25+200=225
國中生用這種方法去作各種乘法會覺得生動有趣，老師可借此機會對古埃及人和巴比倫人另類的計算作壢史的介紹，並要求學生作書面報告，這是一個引起學生主動學習的最佳方法。
圓周率π是每一個國中生都熟悉的，教師可以利用課堂上時間，向學生介紹古代中國及古西臘數學家計算圓周率π精確值的偉大歷史故事，（也順便提一下阿基米得的哲學觀），告訴他中國歷史上的劉徽在公元三世紀的時候，他用【割圓術】計算出圓周率是3.1416，（如果學生好奇問道割圓術是甚麼？那老師就該稱讚他，並且大概講解一下），而到了公元五世紀的時候，另一位高手叫祖沖之（老師可要求學生看書自我想像寫研讀心得—祖沖之的故事）的又創世界紀錄並保持1000年，精算到七位小數，3.1415926<圓周率<3.1415927，到最後告訴他近世的萊布尼茲公式，讓他們深感數學之力與美：
國中生用計算機（順便教他）也可以精算到小數第20位，到這個時候如果有學生很想知到萊布尼茲公式是怎麼來的，有這麼好的師生互動，那麼老師的教學算是很成功了。
如何讓學生主動學數學？ 〉POWER教師陳美伶有秘方
(摘自人本教育札記202期)
口述◎陳美伶
整理◎古淑薰
圖◎資料室提供
對許多學生來說，學數學的經驗常常是無奈與痛苦的。小六的芳君提到「覺得數學很無聊，不知道學數學有什麼用。」國二的志豐說：「很多大人都說數學可以幫助思考，可是老師只會出一堆作業要我們練習，這樣我們怎麼會有思考能力？」國三的竹君一聽到數學，臉馬上垮了下來，他說：「最討厭數學了，一堆大考小考。」
然而，在台中大里的光正國中卻有一位數學老師陳美伶，用創新的教法，帶著學生去瞭解數學的有趣、有用與重要性。被陳美伶教過的學生說：「數學使生活更方便」、「數學可以訓練推理與思考能力」、「具有挑戰性可以解決很多問題」。在陳美伶老師和其他數學老師的努力下，光正國中是教育部數學標竿一百的重點學校，陳美伶更於去年獲得POWER教師獎。本文訪問陳美伶老師，請她談談她的教學經驗，以及她怎樣讓孩子能體會學數學的趣味，甚至喜歡「上數學課」。
數學能力不低落
很多家長認為現在孩子的數學能力低落，許多老師也反應學生程度下降，其實這些說法不太正確。認為孩子數學能力低落的爸媽跟老師都有一種慣性，習慣用過去的觀點以及評量方式來看待現在孩子的表現，因此每每會覺得一屆不如一屆。事實上，現在孩子的數學能力並沒有比較低落，而是表現在其他方面。例如過去計算能力比較強，文字閱讀能力比較好，但現在孩子的優點則是分析能力、觀察能力比較好、也比較敢發表自己的想法。
家長常常都會根據孩子的數學成績來判斷孩子的數學能力，可是，學校考試的分數只能顯現非常小的面向，很難測出分析能力、觀察能力、能不能用數學來溝通表達的能力。這些能力要透過其他的評量方式，例如小組討論、報告、錄音、錄影等方式才能看得出來，但許多家長仍然只看重孩子的紙筆測驗成績。常常就有家長會問我，「有什麼方法可以讓孩子考高分？」我都會請這些家長先想一想：是要孩子當一個想法被限定的考試機器人，還是一個活得有思考的人？如果要應付考試，只要不斷做練習，熟悉各種題型，再從考古題中猜題並加強練習，就可以做到。但是那樣卻是把孩子當成了考試機器人，為了考試反覆練習，孩子的思考能力反而會僵化、被限制住。
事實上，我們都知道，數學要學的好，思考理解能力是比計算能力還要重要的。但是要怎麼培養學生思考理解的能力呢？我認為老師要採取新的教法，而不能囿於過去傳統的，依靠講述的、單向的教法。
改變教學，讓孩子體會到數學的用處
一個數學教師不該只是會使用傳統的講授方式去幫助學生、引導學生學習，他應該要能靈活運用每一種教學法，並能判斷在甚麼時間、面對甚麼學生及甚麼數學概念，該用何種方法幫助學生學習。在這過程中，老師絕不是一成不變地灌輸知識給學生，而是要想很多種方法，隨時根據學生的學習反應做調整。
其實，一開始我跟大多數的老師一樣，採取傳統的教學方式，每次上課我都準備充分，很認真的講解給學生聽。但常會遇到學生問我「為什麼要學數學？以後又用不到？」他們認為數學除了考試之外，只要會加減乘除就好了，為什麼要學數學？這讓我開始去思考為什麼學生從小到大學了那麼久的數學，仍然無法體會數學的價值，於是我開始改變教學方式。
教材是開門磚，要讓學生不怕數學，讓他覺得很有趣，要先能吸引他的興趣，讓他覺得數學是有用的、重要的，才能引起他的學習動機。如果一開始，學生就恐懼數學、害怕數學，他根本避之唯恐不及。
因為教科書課本比較枯燥，引不起學生興趣，我開始自己設計教材。而設計教材的第一步，就是要去想：「什麼樣的情境，學生會想去瞭解？」設計教材的重要原則就是要讓學生看的懂，學生看懂了，他就能去推想、運算，嘗試解決問題，也就能體會到數學的用處。
常態班中進行小組討論
在常態的班級裡，面對程度不同的學生，老師要能在教學中去運作。老師要能掌握班上學生的學習狀況，在上課的過程當中，要讓某些孩子表現，也要特別照顧跟不上的同學。因此，設計討論的問題，不是為了考倒學生，而是從孩子的生活出發，讓每個孩子都有辦法參與討論，不會因為跟不上就放棄。
我覺得學數學不只是由老師教，學生彼此討論也能學到。
在課堂上，我會設計一些主題讓學生分組討論，並上台發表。在這過程中，同學必須清楚知道數學概念，還要自己設計圖表等道具，提出他們這組的想法。這就是一種數學表達能力。而且，當別組在報告時，其他組會提出質疑，或是提出更好的解法或想法，無形之中，就培養了學生分析與批判的能力。
事實上，同學要能參加小組討論與上台報告需要一段時間的訓練。尤其剛開始要同學發表意見，很多同學都不敢，擔心萬一講不好或講錯，會被其他同學笑。因此，在一開始，我會不斷跟他們說「講錯是正常」，建立他們勇於表達的心理，我也會跟他們說，有不會的或錯誤的，老師才知道哪個地方可能沒講清楚，有助於我去思考還可以怎麼幫助他們理解。
而且，我發現鼓勵他們說出自己的想法，讓他們有說出想法的習慣，學生會發展主動學習的能力。有時候下課，同學還會跑來找我討論數學，問我這一題是不是這樣做。有一次，我因為有行政上的事情要處理，晚了十分鐘到教室。等到我跑到教室時，卻看到同學已經就上次的回家作業分組討論起來。
除了小組討論之外，我也會請學生寫數學週記，主要是培養他們對自己學習的反思能力。我會請他們寫出從這個單元學到哪些知識、概念，可以解決什麼問題，有哪些地方還聽不太懂的，下堂課我就會針對這些部分，再設計一些課程讓他們理解。此外，我也會請他們告訴我上課心得，或請他們自己設計題目，或分析哪一種解題方法最好。透過寫週記，不僅學生能反思學習的過程，我也從中瞭解學生的學習狀況。這樣的方式比考試更能瞭解學生的學習困難。
讓學生變成主動學習者
寒暑假期間的輔導課，有比較多彈性時間，這時我會設計一些活動，讓學生瞭解數學不是只有課本上的知識，而是有許多豐富的面向。例如前年暑假，我嘗試在數學課程中融入數學的「歷史」，希望學生們能感受到數學的生命力與人性。我讓同學自己分組，上網或去圖書館查數學家的生平或他如何發現數學知識的過程，請他們編成一齣短劇演出來。學生對這個活動興致勃勃，他們一起編劇、討論，有的人當導演，有的人設計服裝、道具，遇到問題，就會跑來找我一起討論。
當初做這活動是為了讓學生知道數學不是憑空跑出來，是有歷程，希望學生能瞭解數學有趣的地方，不要討厭數學。我很開心學生的反應都不錯，當時有一組表演『西蒙．塔斯』的同學就曾在他們的心得報告中寫道：「我們都覺得…數學是一個很壞、很深、很難懂的一個大魔鬼…我們就因為如此的害怕而更加排斥它！不過，經由此次的演出…我們知道了數學的奇妙、數學的可愛…由此我們都可以放心、安心地與他一併作戰。…在演出之前…我們都要試著自己去尋找題目、解出答案…這種方式…我們認為是不錯的學習方式…要學好數學…最好的方式是…要會算、會說、會解釋才有用的！」
那一次，我們玩得不亦樂乎，現在國三的同學每次談到他們國一時的演戲經驗，每個人都可以滔滔不絕地說出許多故事。
在這樣的教學過程中，毋寧說我教了學生，其實是學生自己當老師，自己設計了課程，他們自己討論、分組報告，也就發展了能力，而他們在學校考試或是基測的表現上都非常突出。可是最令我感到高興的是，很多數學成績不是很好的學生依然喜歡數學，也有基礎的數學能力，不會因為成績不好或聽不懂就放棄數學。最近就有一個去年畢業，現在念私立高職的學生回來看我，跟我說：「我們高職一年級教的數學好簡單，國中時你就教過了，我都會。而且我還是班上前兩名，數學成績是最好的。」那真的是我最開心的一刻！
口述◎陳美伶
整理◎古淑薰
圖◎資料室提供
對許多學生來說，學數學的經驗常常是無奈與痛苦的。小六的芳君提到「覺得數學很無聊，不知道學數學有什麼用。」國二的志豐說：「很多大人都說數學可以幫助思考，可是老師只會出一堆作業要我們練習，這樣我們怎麼會有思考能力？」國三的竹君一聽到數學，臉馬上垮了下來，他說：「最討厭數學了，一堆大考小考。」
然而，在台中大里的光正國中卻有一位數學老師陳美伶，用創新的教法，帶著學生去瞭解數學的有趣、有用與重要性。被陳美伶教過的學生說：「數學使生活更方便」、「數學可以訓練推理與思考能力」、「具有挑戰性可以解決很多問題」。在陳美伶老師和其他數學老師的努力下，光正國中是教育部數學標竿一百的重點學校，陳美伶更於去年獲得POWER教師獎。本文訪問陳美伶老師，請她談談她的教學經驗，以及她怎樣讓孩子能體會學數學的趣味，甚至喜歡「上數學課」。
數學能力不低落
很多家長認為現在孩子的數學能力低落，許多老師也反應學生程度下降，其實這些說法不太正確。認為孩子數學能力低落的爸媽跟老師都有一種慣性，習慣用過去的觀點以及評量方式來看待現在孩子的表現，因此每每會覺得一屆不如一屆。事實上，現在孩子的數學能力並沒有比較低落，而是表現在其他方面。例如過去計算能力比較強，文字閱讀能力比較好，但現在孩子的優點則是分析能力、觀察能力比較好、也比較敢發表自己的想法。
家長常常都會根據孩子的數學成績來判斷孩子的數學能力，可是，學校考試的分數只能顯現非常小的面向，很難測出分析能力、觀察能力、能不能用數學來溝通表達的能力。這些能力要透過其他的評量方式，例如小組討論、報告、錄音、錄影等方式才能看得出來，但許多家長仍然只看重孩子的紙筆測驗成績。常常就有家長會問我，「有什麼方法可以讓孩子考高分？」我都會請這些家長先想一想：是要孩子當一個想法被限定的考試機器人，還是一個活得有思考的人？如果要應付考試，只要不斷做練習，熟悉各種題型，再從考古題中猜題並加強練習，就可以做到。但是那樣卻是把孩子當成了考試機器人，為了考試反覆練習，孩子的思考能力反而會僵化、被限制住。
事實上，我們都知道，數學要學的好，思考理解能力是比計算能力還要重要的。但是要怎麼培養學生思考理解的能力呢？我認為老師要採取新的教法，而不能囿於過去傳統的，依靠講述的、單向的教法。
改變教學，讓孩子體會到數學的用處
一個數學教師不該只是會使用傳統的講授方式去幫助學生、引導學生學習，他應該要能靈活運用每一種教學法，並能判斷在甚麼時間、面對甚麼學生及甚麼數學概念，該用何種方法幫助學生學習。在這過程中，老師絕不是一成不變地灌輸知識給學生，而是要想很多種方法，隨時根據學生的學習反應做調整。
其實，一開始我跟大多數的老師一樣，採取傳統的教學方式，每次上課我都準備充分，很認真的講解給學生聽。但常會遇到學生問我「為什麼要學數學？以後又用不到？」他們認為數學除了考試之外，只要會加減乘除就好了，為什麼要學數學？這讓我開始去思考為什麼學生從小到大學了那麼久的數學，仍然無法體會數學的價值，於是我開始改變教學方式。
教材是開門磚，要讓學生不怕數學，讓他覺得很有趣，要先能吸引他的興趣，讓他覺得數學是有用的、重要的，才能引起他的學習動機。如果一開始，學生就恐懼數學、害怕數學，他根本避之唯恐不及。
因為教科書課本比較枯燥，引不起學生興趣，我開始自己設計教材。而設計教材的第一步，就是要去想：「什麼樣的情境，學生會想去瞭解？」設計教材的重要原則就是要讓學生看的懂，學生看懂了，他就能去推想、運算，嘗試解決問題，也就能體會到數學的用處。
常態班中進行小組討論
在常態的班級裡，面對程度不同的學生，老師要能在教學中去運作。老師要能掌握班上學生的學習狀況，在上課的過程當中，要讓某些孩子表現，也要特別照顧跟不上的同學。因此，設計討論的問題，不是為了考倒學生，而是從孩子的生活出發，讓每個孩子都有辦法參與討論，不會因為跟不上就放棄。
我覺得學數學不只是由老師教，學生彼此討論也能學到。
在課堂上，我會設計一些主題讓學生分組討論，並上台發表。在這過程中，同學必須清楚知道數學概念，還要自己設計圖表等道具，提出他們這組的想法。這就是一種數學表達能力。而且，當別組在報告時，其他組會提出質疑，或是提出更好的解法或想法，無形之中，就培養了學生分析與批判的能力。
事實上，同學要能參加小組討論與上台報告需要一段時間的訓練。尤其剛開始要同學發表意見，很多同學都不敢，擔心萬一講不好或講錯，會被其他同學笑。因此，在一開始，我會不斷跟他們說「講錯是正常」，建立他們勇於表達的心理，我也會跟他們說，有不會的或錯誤的，老師才知道哪個地方可能沒講清楚，有助於我去思考還可以怎麼幫助他們理解。
而且，我發現鼓勵他們說出自己的想法，讓他們有說出想法的習慣，學生會發展主動學習的能力。有時候下課，同學還會跑來找我討論數學，問我這一題是不是這樣做。有一次，我因為有行政上的事情要處理，晚了十分鐘到教室。等到我跑到教室時，卻看到同學已經就上次的回家作業分組討論起來。
除了小組討論之外，我也會請學生寫數學週記，主要是培養他們對自己學習的反思能力。我會請他們寫出從這個單元學到哪些知識、概念，可以解決什麼問題，有哪些地方還聽不太懂的，下堂課我就會針對這些部分，再設計一些課程讓他們理解。此外，我也會請他們告訴我上課心得，或請他們自己設計題目，或分析哪一種解題方法最好。透過寫週記，不僅學生能反思學習的過程，我也從中瞭解學生的學習狀況。這樣的方式比考試更能瞭解學生的學習困難。
讓學生變成主動學習者
寒暑假期間的輔導課，有比較多彈性時間，這時我會設計一些活動，讓學生瞭解數學不是只有課本上的知識，而是有許多豐富的面向。例如前年暑假，我嘗試在數學課程中融入數學的「歷史」，希望學生們能感受到數學的生命力與人性。我讓同學自己分組，上網或去圖書館查數學家的生平或他如何發現數學知識的過程，請他們編成一齣短劇演出來。學生對這個活動興致勃勃，他們一起編劇、討論，有的人當導演，有的人設計服裝、道具，遇到問題，就會跑來找我一起討論。
當初做這活動是為了讓學生知道數學不是憑空跑出來，是有歷程，希望學生能瞭解數學有趣的地方，不要討厭數學。我很開心學生的反應都不錯，當時有一組表演『西蒙．塔斯』的同學就曾在他們的心得報告中寫道：「我們都覺得…數學是一個很壞、很深、很難懂的一個大魔鬼…我們就因為如此的害怕而更加排斥它！不過，經由此次的演出…我們知道了數學的奇妙、數學的可愛…由此我們都可以放心、安心地與他一併作戰。…在演出之前…我們都要試著自己去尋找題目、解出答案…這種方式…我們認為是不錯的學習方式…要學好數學…最好的方式是…要會算、會說、會解釋才有用的！」
那一次，我們玩得不亦樂乎，現在國三的同學每次談到他們國一時的演戲經驗，每個人都可以滔滔不絕地說出許多故事。
在這樣的教學過程中，毋寧說我教了學生，其實是學生自己當老師，自己設計了課程，他們自己討論、分組報告，也就發展了能力，而他們在學校考試或是基測的表現上都非常突出。可是最令我感到高興的是，很多數學成績不是很好的學生依然喜歡數學，也有基礎的數學能力，不會因為成績不好或聽不懂就放棄數學。最近就有一個去年畢業，現在念私立高職的學生回來看我，跟我說：「我們高職一年級教的數學好簡單，國中時你就教過了，我都會。而且我還是班上前兩名，數學成績是最好的。」那真的是我最開心的一刻！
2019年12月4日 星期三
如何讓國中生主動檢討數學考卷？「教學大亂鬥」帶著全班動起來
如何讓國中生主動檢討數學考卷？「教學大亂鬥」帶著全班動起來
葉奕緯提供
大多數學生不喜歡檢討考卷，但數學老師葉奕緯認為考多少分還在其次，努力追求「試後100分」才是考試的價值與意義。他從「家教給分法」自行發展出熱鬧、好玩又有效果的「教學大亂鬥」，讓每一個學生不分程度高低，都能勇敢的去教人與問人。
圖片提供：葉奕緯（彰化縣田中高中附設國中部數學老師）
「考試是一種評估學習程度的工具。考得好，給自己一個肯定的鼓勵；考不好，就要去確實查明錯誤的原因並訂正。『試後100分』才是考試的價值與意義。」這是我常跟孩子們說的話。
早期我會逐題檢討，而且還手寫試題分析與詳解，回想起來真覺得自己超厲害，三個年段、近百題的解答熬夜做完。當時的我有超高的誠意跟肝指數，但無法掌握學生是否確實了解和吸收。
我帶的班開始實施分組教學後，我常在想「有沒有什麼方式，可以促進學生討論氛圍，同時增強訂正效率呢？」
第一個想到的，就是中港高中彭甫堅老師的「家教給分法」。很有趣、可活絡氣氛、可增進互動.......但我總會掛心著，會不會有人漏掉了、有人消極坐看一切、小團體搞網內互打打免錢，然後邊緣人繼續蹲在角落劃圈圈。
所以我依著「家教給分法」精神，融入全員互動的元素，我將其命名為「教學大亂鬥」。
想知道如何進行嗎？以下就是我的操作步驟分享。
1.首先你要有一張全班都考完的考卷。
2.請全班同學都出來抽一支籤。
（一開始還沒什麼動靜，補了一句：先搶先贏喔～他們就仿佛看見卡比獸一樣撲過來。）
接著說明：「抽到的號碼就是你要負責的考卷題目，你必須要弄懂並寫出詳解，等等會派上用場。」建議可以用分組的方式去打包抽籤（如第一組抽四題回去自己河蟹），或是老師先依照段考成績搭配試題難易度，來做抽籤安排（考最低的五個抽最簡單的五題之類）。
3.將「大亂鬥任務單」發下。
左面要仔細撰寫負責的題目詳解，以及所使用到的核心概念；右面則是要搞定自己錯誤的題型。
4.說明規則：
「各位同學請注意，等等你們有兩件事要做：要教，要學。要教的題目，就是你剛剛寫下詳解的那一題。活動開始後，你要設法去找到班上所有錯這一題的人，並把他教會。教完後，請同學在你的任務單左下角簽名，而你則要在同學任務單的右面簽上題號與姓名，以示負責；學的部分，就是你要把自己所有錯誤的題號，寫在右面的大空格上，並利用時間去找到負責教的同學，盡可能的學會。學會後，在對方任務單的左下角簽名，再請對方在自己任務單的右面簽名。」孩子可從讀卡答案紙上去搜尋，自己負責的題目有那些人錯，此時聰明的孩子就會手刀狂奔至講桌，把號碼抄下來然後上演官兵抓強盜的戲碼，比較遲鈍的也會在後段時間，來確認是否還有缺漏。
「時間終了後，請於左右面的下方結算成績。教與學都各佔50分，其中不論少學一題，或漏教一人，都要扣2分。譬如小緯今天負責第五題，然後他自己錯了9題，最後小緯發現他漏教一個人，然後錯的題目有三題還沒問到，最後的分數就是(50-2)+(50-2*3)=85。」
「老師最後會有檢驗抽抽樂時間，會隨機抽題請人上台挑戰，若是該題能順利答對，解題同學可以加5分，負責教他的人也可以加5分；但若回答錯誤，除了答題的人要扣分，教的人也要連帶處罰喔。」(有檢驗才能避免簽唱會發生)
「有沒有問題？(通常都要活動開始後才會有問題)好，老師宣布開始大亂鬥，GO!」
5.宣布活動開始後，就準備看全班近30人上演真人版大亂鬥。會很熱鬧、會有點混亂，因為他們不知道誰教哪一題，頂多知道自己負責的題目有誰寫錯，所以勢必要互相確認彼此身份，才能有效的解決各自任務。重點是：全班每個人不論成績好壞都會教到人。而這就是我要的：「學會問人，學會教人。」去找人問，去找人教，藉由「眾裡尋他千百度，那人卻在廁所欄杆處」的歷程，促進兩岸和平互動。
當大亂鬥進行多次後，建議可以事先做出全班的錯題統計表，透過排序的結果，讓成績好的負責比較多人錯的題目，考不好的孩子則是負責比較少人錯的題型。
6.結算時刻：
教人分50分，少訂正一題扣2分，扣到零分為止；學題分也是50分，少一人簽名扣2分，教人分加上學題分等於最後的總得分。
7.檢驗時間：
活動開始就強調，等時間終了後會舉行「抽抽樂」大獎賽，先抽題號後抽人（我手上有讀卡答案卷，可以知道誰答錯該題）(那全對的人不就很慘？不，他們可以狂問問題，問好的問題亦可以加分）。上臺講解若能安全下莊，該名同學總分加5分，而且重點是，該題的負責人也可以加5分！用這個「生命共同體」的概念，讓孩子講解會比較認真，也願意主動去抓人來教。
最後，是戰績報告時間：
第一次的實施過程中，七年級最後沒進入檢驗的這一關，因為光大亂鬥就鬥兩節課了；八年級鬥了一節，然後很認真的自己利用自修課又鬥了一節（你能想像學生自己主動提出要討論數卷嗎？），第二節有抽抽樂，有人掛在臺上，我給他們補救再講一次的機會，然後才順利完成。即使答不出被扣分，也只是象徵性的警惕，要他們弄懂才是目的。
我設計出「教學大亂鬥」目的，是不要拘泥在由教師主導解題，先讓孩子專注地學會一題，在教學的過程中累積自信心，再藉由詢問同學的過程中，產生良善的互動，培養合作學習的默契，這是我期待它能夠達成的目標。
考試是一種評量，評量是為了檢測與成長；訂正是一種反思，而反思是為了進步與態度。
讓我們，一起來「教學大亂鬥」吧。
大亂鬥Q&A
Q1：大亂鬥好棒，活動落幕，試卷訂正就完成了嗎？
大亂鬥的結束，才是訂正的開始。教學大亂鬥的核心概念是：「互助共好」，而不是抄完就好，所以我會請孩子們在完成任務單後，再花些時間，確實的將學到的題型吸收消化，並訂正到隨堂測驗紙上(錯的題目都要訂正，不抄題)，最後將訂正與考卷釘在一起送回給老師或小老師檢查。
Q2：當題數與人數無法剛好的時候，要如何處理？
題多人少時，譬如有30題，班上26人，我會抓出最難的四題自己搞定，然後再依據註3的方式，分配剩餘的題目；題少人多時，如只有20題，班上26人，我會讓成績最不理想的6位同學，無須參與教的部分(教人分數自動滿分計算)，只要專心去學就好。
Q3：題目是否要事先分配，還是讓孩子隨機抽籤？
第一次進行可以隨機增加混亂度與刺激度，後續再進行時建議事先分配，會更有效率，也能讓孩子講解的題目，不至於與自身程度落差太大。
2019年7月20日 星期六
分數乘法的理解方式
大家好，筆者最近在某份雜誌(註[1])讀到一篇文章，上面的文字怎麼說筆者想不太起來，但筆者卻對作者使用一個圖來解釋分數的乘法，感到印象深刻，因為它剛好解決的筆者心中的疑惑，因此也想請讀者一起分享。
首先，筆者想請問大家，分數的概念要怎麼解釋呢？相信大家常用的方式有兩種，一種是圓餅圖，另外一種是長條圖。請先看下圖，左邊的圖就代表了1/4這個分數，而右邊的圖則代表了2/5這個分數：
原因是，我們理解真分數a/b的方式，是將a/b理解為「以1代表整體，將1予以b等分後，取其中a等分，a小於b」。
但是，筆者發現以上兩種圖用來解釋一般真分數a/b的意義，大抵上是沒問題的，但卻比較不利於解釋下面的分數乘法公式：
然而，在上面提到的那篇文章中，作者使用下面的圖來說明(3/4)*(2/5)=6/20：
利用上面的圖，作者試圖解釋(3/4)*(2/5)=6/20的道理。要怎麼解釋呢？在此，筆者也畫出了另外三張圖，試著來解釋該作者的想法。第一張圖為：
上圖代表將所有面積1分成4等份，且取其中3等份，因此表示了3/4這個分數。
再來，已知有兩個數a與b，而「a的b倍」要怎麼表示呢？我們記為「a×b」，讀作「a乘以b」；因此(3/4)×(2/5)的意義就是3/4的2/5倍，所以我們要先把藍色面積分成5等份， 再取其中2份，我們把取的那兩份並塗成橘色，代表我們所要的面積：
但是上圖中的橘色面積，究竟占所有面積1的多少部份呢？我們看不出來，這是因為右邊有一塊大長方形沒有被橫向切開，導致所有面積沒有被等分，所以我們講不出來究竟是「1的幾等分裡取幾等分」。因此我們再考慮下圖：
而這就是該作者所用的圖，在上圖中，所有面積1被分成了20等份，橘色部份有6等份，所以就是橘色部份就代表了6/20這個分數。
可是不要忘了，6/20的分母20，是因為面積1先縱向4等份再橫向5等份，4乘上5等於20，所以總共分了20等分；而因為第一次切割後共取了3等分，第二次切割時取了2等分，所以最後共有3×2=6等分。相信至此不難理解，為何分數相乘時，分母要相乘，分子也要相乘的道理
首先，筆者想請問大家，分數的概念要怎麼解釋呢？相信大家常用的方式有兩種，一種是圓餅圖，另外一種是長條圖。請先看下圖，左邊的圖就代表了1/4這個分數，而右邊的圖則代表了2/5這個分數：
原因是，我們理解真分數a/b的方式，是將a/b理解為「以1代表整體，將1予以b等分後，取其中a等分，a小於b」。
但是，筆者發現以上兩種圖用來解釋一般真分數a/b的意義，大抵上是沒問題的，但卻比較不利於解釋下面的分數乘法公式：
然而，在上面提到的那篇文章中，作者使用下面的圖來說明(3/4)*(2/5)=6/20：
利用上面的圖，作者試圖解釋(3/4)*(2/5)=6/20的道理。要怎麼解釋呢？在此，筆者也畫出了另外三張圖，試著來解釋該作者的想法。第一張圖為：
上圖代表將所有面積1分成4等份，且取其中3等份，因此表示了3/4這個分數。
再來，已知有兩個數a與b，而「a的b倍」要怎麼表示呢？我們記為「a×b」，讀作「a乘以b」；因此(3/4)×(2/5)的意義就是3/4的2/5倍，所以我們要先把藍色面積分成5等份， 再取其中2份，我們把取的那兩份並塗成橘色，代表我們所要的面積：
但是上圖中的橘色面積，究竟占所有面積1的多少部份呢？我們看不出來，這是因為右邊有一塊大長方形沒有被橫向切開，導致所有面積沒有被等分，所以我們講不出來究竟是「1的幾等分裡取幾等分」。因此我們再考慮下圖：
而這就是該作者所用的圖，在上圖中，所有面積1被分成了20等份，橘色部份有6等份，所以就是橘色部份就代表了6/20這個分數。
可是不要忘了，6/20的分母20，是因為面積1先縱向4等份再橫向5等份，4乘上5等於20，所以總共分了20等分；而因為第一次切割後共取了3等分，第二次切割時取了2等分，所以最後共有3×2=6等分。相信至此不難理解，為何分數相乘時，分母要相乘，分子也要相乘的道理
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